Řešení kvadratické rovnice s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel

Teoretické minimum

Kvadratická rovnice s neznámou @i\, x\,@i a reálnými koeficienty 

@b ax^2+bx+c=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq 0@b 

nemá reálné kořeny v oboru reálných čísel, pokud diskriminant @i\, D=b^2-4ac\,@i je záporný. Ale v oboru komplexních čísel  má dva komplexně sdružené kořeny @b\ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{|D|}\,i }{2a}.@b

Související

Kvadratické rovnice.

Řešené příklady

Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2+4x+5=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{C}.@i

Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=4,\ c=5@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4@i. Rovnice má dva komplexně sdružené kořeny @bx_1=\dfrac{-4+\sqrt{4}\,i}{2}=-2+i,\qquad x_2=\dfrac{-4-\sqrt{4}\,i}{2}=-2-i\qquad \Longrightarrow\quad K=\{-2\pm i\}.@b

Užitečná poznámka: Platí, že @b i^2=-1\qquad\Longleftrightarrow\qquad \sqrt{-1}=i. @b Poznamenejme, že odmocnina v množině komplexních číslech je nejednoznačná, ale tím se nebudeme zabývat.Tedy @b\sqrt{D}=\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=\sqrt 4\cdot\sqrt{-1}=2\,i.@b 

Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2-2x+10=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{C}.@i

Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=-2,\ c=10@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 10=4-40=-36<0@i. Rovnice má dva komplexně sdružené kořeny @bx_1=\dfrac{2+\sqrt{36}\,i}{2}=1+3\,i,\qquad x_2=\dfrac{2-\sqrt{36}\,i}{2}=1-3\,i\qquad \Longrightarrow\quad K=\{1\pm 3\,i\}.@b

Řešte kvadratickou rovnici @i\  3x^2+3(x+2)=x+2(x-3)\ @i s neznámou @ix\in\mathbb{C}.@i

Zbavíme se závorek na levé i pravé straně rovnice

@b \begin{array}{r c l} 3x^2+3x+6&=& x+2x-6 ,\\ 3x^2+3x+6&=& 3x-6. \end{array}@b

Převedeme všechny členy na jednu stranu rovnice a obě strany rovnice vydělíme @i\,3@i @b \begin{array}{r c l }3x^2 +12 &=& 0, \\ x^2+4& = & 0.\end{array}@b Jedná se tedy o kvadratickou rovnici bez lineárního členu. Osamostatníme @i\,x^2\,@i a odmocníme obě strany rovnice @b \begin{array}{r c l} x^2&=& -4, \\ |x|& = &\sqrt 4\,i, \\ x_{1,2}& = & \pm 2\,i \qquad \Longrightarrow\quad K=\{\pm 2\,i\}. \end{array}@b




 Užitečná poznámka: Kvadratickou rovnici @i\,x^2+4=0\,@i lze řešit též přes diskriminant, takový postup je ale v tomto případě nepoměrně složitější. Poznamenejme, že rovnice by v množině reálných čísel neměla řešení!





Stanovte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je  @i\,x_1=3-6\,i.@i

Druhý kořen musí být komplexně sdružený, tj. @i\,x_2=3+6\,i@i. Uvažujeme-li kvadratickou rovnici v normovaném tvaru @i\, x^2+px+q=0@i, pak platí

@b\begin{array}{rcl} -p&=&x_1+x_2=3-6\,i+3+6\,i=6, \\[3mm]   q&=&x_1\cdot x_2=(3-6\,i)(3+6\,i)=9-36\,i^2=9+36=45.\end{array} @b

Komplexně sdružená čísla @i\,x_1=3-6\,i,\ x_2=3+6\,i\,@i jsou kořeny kvadratické rovnice @b x^2-6x+45=0. @b

 Pozor, častá chyba: Koeficient u lineárního členu @i\,p\,@i je roven mínus součtu kořenů rovnice. 

  Užitečná poznámka: Rovnice @i\,x^2-6x+45=0\,@i má stejné kořeny jako rovnice @i\,ax^2-6ax+45a=0,\ a\neq 0@i.              

Neřešené příklady

V oboru komplexních čísel řešte kvadratickou rovnici @i\  2x^2-x+1=0@i.


Výsledek


Vypočteme diskriminant @i D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot1 = -7 < 0.@i Rovnice má dva komplexně sdružené kořeny @b K = \Bigl\{ \dfrac{1 \pm \sqrt{7}\,i}{4} \Bigr\}.@b

Řešte kvadratickou rovnici @i\ (1-\lambda)(2-\lambda)+3=0 @i s neznámou  @i \lambda \in \mathbb{C}@i.


Výsledek


@b \begin{array}{r c l} (1-\lambda)(2-\lambda)+3 &=& 0 \\ 2-2\lambda-\lambda + \lambda^2+3 &=& 0 \\ \lambda^2 - 3\lambda + 5 &=& 0 \\ D = 9 - 20 = -11 < 0 & \Rightarrow & \lambda_{1,2} = \dfrac{3\pm \sqrt{11}i}{2} \end{array} @b Rovnice má dva komplexně sdružené kořeny @i K =\Bigl\{ \dfrac{3\pm \sqrt{11}i}{2} \Bigr\}@i

V oboru komplexních čísel řešte kvadratickou rovnici @i\ (\lambda+1)(2\lambda+1) = 3(\lambda-3) @i s neznámou @i\lambda\in \mathbb{C} @i.


Výsledek


@b \begin{array}{r c l} (\lambda+1)(2\lambda+1) &=& 3(\lambda-3) \\ 2\lambda^2 + 3\lambda +1 &=& 3\lambda -9 \\ 2\lambda^2 +1 &=& -9 \\ \lambda^2 &=& -5 \\ \lambda_{1,2} &=& \pm \sqrt{5}i \end{array} @b Rovnice má dva ryze imaginární komplexně sdružené kořeny @i K = \Bigl\{ \pm \sqrt{5}i \Bigr\}.@i

V oboru komplexních čísel řešte kubickou rovnici @i\ x^3-2=2(2x^2-4x-1)@i.


Výsledek

@b \begin{array}{r c l} x^3-2&=&2(2x^2-4x-1) \\ x^3-2 &=& 4x^2-8x-2 \\ x^3 - 4x^2 + 8x &=& 0 \\ x(x^2 - 4x + 8) &=& 0 \\ x=0 &\text{ nebo }& x^2 - 4x + 8 =0 \\ D = 16 - 4\cdot 8 = -16 < 0 & \Rightarrow & x_{2,3} = \dfrac{4\pm 4 i}{2} = 2\pm 2i \end{array} @b Rovnice má tři kořeny @i K =\{ 0, 2\pm 2i\}@i.