Kvadratické nerovnice

@b\begin{array}{rcl}-4(3-x)^2&\geq&11x-33/ -11x+33 \\[2mm] -4(9-6x+x^2)-11x+33&\geq&0\\[2mm]-4x^2+13x-3&\geq&0/ \cdot(-1)\\[2mm]4x^2-13x+3&\leq&0.\end{array}@b

Nejprve musíme najít kořeny rovnice @b 4x^2-13x+3=0.@b Pro rovnici platí @i\ a=4,\ b=-13,\ c=3@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-13)^2-4\cdot 4\cdot 3=169-48=121=(11)^2@i. Rovnice má dva reálné kořeny @bx_1=\dfrac{13+11}{8}=3,\qquad x_2=\dfrac{13-11}{8}=\dfrac 14.@b   Nerovnici převedeme do součinového tvaru, tj. @b 4\Bigl(x-3\Bigr)\Bigl(x-\dfrac 14\Bigr)\leq 0@b  Její nulové body jsou @i\, 3\,@i a @i\, \dfrac 14@i, které reálnou osu rozdělí na tři intervaly, pro které platí

@b \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline \mathbb{R}&& \Bigl(-\infty,\dfrac14\Bigr)&\dfrac 14& \Bigl(\dfrac 14,3\Bigr)&3&\Bigl(3,\infty\Bigr)\\ \hline x-3 && -&- &- &0 & + \\ \hline x-\dfrac 14 && -&0&+ & + & +\\ \hline\\ \hline 4(x-3)\Bigl(x- \dfrac 14\Bigr) && \boldsymbol{+}& \bf{0}&{\bf -} &{\bf 0} & {\bf +}\\ \hline \end{array} @b

Související

Kvadratická rovnice, kvadratická funkce.

Řešené příklady

Řešte nerovnici @i\, -5(1-x)^2<3x+11\,@i s reálnou neznámou @i\,x.@i

Závorku umocníme a všechny členy převedeme na levou stranu nerovnice. Nerovnici vynásobíme @i\, -1@i, aby byl koeficient u @i\,x^2\,@i  kladný. Pozor na znaménko!





@b\begin{array}{rcl}-5(1-x)^2&<&3x+11/ -3x-11 \\[2mm] -5(1-2x+x^2)-3x-11&<&0\\[2mm]-5x^2+7x-16&<&0/ \cdot(-1)\\[2mm]5x^2-7x+16&>&0.\end{array}@b


Nejprve musíme najít kořeny rovnice @b 5x^2-7x+16=0.@b Pro rovnici platí @i\ a=5,\ b=-7,\ c=16@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-7)^2-4\cdot 5\cdot 16=49-320=-271@i. Rovnice nemá reálné kořeny. Parabola @i\, y= 5x^2-7x+16\,@i je "konvexní" a její vrchol (celá) leží nad osou @i\, x@i. Tedy nerovnost @b 5x^2-7x+16>0@b je splněna pro každé reálné číslo, tj. @i\, K=\mathbb R@i. 

Řešte nerovnici @ix^2-7\leq 0 @i s reálnou neznámou @i\,x.@i

Kvadratickou nerovnici bez lineárního členu lze řešit odmocněním, jestliže jsou obě strany nerovnosti nezáporné.

@b  \begin{array}{r c l} x^2 -7&\leq&0 \  /+7 \\[2mm] x^2 &\leq&7 /\ \sqrt{\ \, }\\[2mm] \sqrt{x^2}&\leq&\sqrt{7}  \\[2mm] |x|&\leq&\sqrt{7}.\end{array}@b Poslední nerovnost říká, že hledáme reálná čísla @i\,x@i, jejichž obraz je vzdálen na číselné ose od nuly o méně než nebo rovno @i\,\sqrt 7@i, tj. @i\,-\,\sqrt 7\leq x\leq \sqrt 7\,@i a @i\,K = \langle -\,\sqrt{7},\sqrt{7}\,\rangle @i.  

Pozor, častá chyba: Při odmocňování kvadratické nerovnice používáte nesprávný (nesmyslný) zápis, viz @b  \begin{array}{r c l}  x^2 &\leq&7 /\ \sqrt{\ \, }\\[2mm] \sqrt{x^2}&\leq&\sqrt{7}  \\[2mm] x&\leq&\pm \sqrt{7}.\end{array}@b 

Řešte nerovnici @i\, (5x-4)^2-(4x-3)^2\leq(2x-5)^2-30\,@i s reálnou neznámou @i\,x.@i


Závorky umocníme a všechny členy převedeme na levou stranu nerovnice. 

@b\begin{array}{rcl}(5x-4)^2-(4x-3)^2&\leq&(2x-5)^2-30 \\[2mm] 25x^2-40x+16-(16x^2-24x+9)&\leq&4x^2-20x+25-30/ \,-4x^2+20x+5\\[2mm]5x^2+4x+12&\leq&0.\end{array}@b


Nejprve musíme najít kořeny rovnice @b 5x^2+4x+12=0.@b Pro rovnici platí @i\ a=5,\ b=4,\ c=12@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(4)^2-4\cdot 5\cdot 12=16-240=-224@i. Rovnice nemá reálné kořeny. Parabola @i\, y= 5x^2+4x+12\,@i je "konvexní" a její vrchol (celá) leží nad osou @i\, x@i. Tedy nerovnost @b 5x^2+4x+12\leq 0@b není nikdy splněna, tj. @i\, K=\emptyset@i. 

Řešte nerovnici @i\, \dfrac{5-x}{x-1}+\dfrac{1+4x}{x+1}\leq2\,@i s reálnou neznámou @i\,x.@i

Dvojku odečteme. Na levé straně zlomky sečteme a obdržíme nerovnici v podílovém tvaru.

@b\begin{array}{rcl} \dfrac{5-x}{x-1}+\dfrac{1+4x}{x+1}&\leq&2/ -2 \\[2mm] \dfrac{(5-x)(x+1)+(1+4x)(x-1)-2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}&\leq&0\\[2mm] \dfrac{5x+5-x^2-x+x-1+4x^2-4x-2x^2+2}{(x-1)(x+1)}&\leq&0\\[2mm] \dfrac{x^2+x+6}{(x-1)(x+1)}&\leq&0.\end{array}@b


Nejprve musíme najít kořeny rovnice @b x^2+x+6=0.@b Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=1,\ c=6@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=1^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24=-23@i. Rovnice nemá reálné kořeny. Parabola @i\, y= x^2+x+6\,@i je "konvexní" a její vrchol (celá) leží nad osou @i\, x@i. Tedy platí @b x^2+x+6>0@b  pro každé reálné číslo. Odtud plyne, že zlomek @i\,\dfrac{x^2+x+6}{(x-1)(x+1)}\,@i není nikdy roven @i\, 0\,@i a je záporný, pokud je záporný jmenovatel, tj. @b(x-1)(x+1)<0. @b Obdrželi jsme nerovnici v součinovém tvaru. Můžeme použít metodu nulových bodů. Využijme geometrický význam nerovnice. Parabola @i\,y=(x-1)(x+1)@i, resp. @i\,y=x^2-1\,@i protne osu @i\, x\,@i v bodech @i\,x=-1, x=1@i. Je "konvexní". Část paraboly, která leží pod osou @i\, x\,@i  odpovídá intervalu @i\,(-1,1)@i, tj. řešením zadané nerovnice je interval @i\, K=(-1,1)@i. 

Řešte nerovnici @i\dfrac{4x+5}{x^2+9}\geq 1 @i s reálnou neznámou @i\,x.@i

Obě strany nerovnice vynásobíme kladným výrazem @i\, x^2+9@i. Parabola @i\,y=x^2+9\,@i leží celá nad osou @i\,x@i. Všechny členy převedeme na pravou stranu nerovnice a strany zaměníme. Na levou stranu nerovnice použijeme vzorec @i\, A^2-2AB+B^2=(A-B)^2@i. @b  \begin{array}{r c l} \dfrac{4x+5}{x^2+9}&\geq&1 \  /\cdot(x^2+9) \\[2mm] 4x+5 &\geq&x^2+9\ / -4x-5\\[2mm] 0&\geq&x^2-4x+4  \\[2mm] x^2-4x+4&\leq&0 \\[2mm] (x-2)^2&\leq&0.\end{array}@b  Nerovnici vyhovuje jediné @i\,x=2@i, tj. řešením je jednoprvková množina @i\,K = \{2\} @i. 

Užitečná poznámka: Připomeňme si, že @i\, A^2=0\,@i právě tehdy, když @i\, A=0@i. Pro každé @i\, A\neq 0@i platí @i\,A^2>0@i.

Neřešené příklady

Řešte nerovnici   @i x^2+3x+4\geq 0 .@i


Výsledek


Diskriminant je záporný, příslušná rovnice nemá řešení. Řešením nerovnice jsou všechna reálná čísla.

Řešte nerovnici   @i1> x(1+2x) .@i


Výsledek


@b-2x^2-x+1 > 0@b @b-(2x-1)(x+1) > 0@b Řešením nerovnice je otevřený interval @iK = \bigl(-1,\frac12\bigr).@i

Řešte nerovnici   @i 3-\dfrac{x^2-3{,}6x}{2} \geq \dfrac{3x+50}{10} .@i

Výsledek


@b 30-5\Bigl(x^2-\frac{36}{10}x\Bigr) \geq 3x+50 @b @b 30-5x^2+ \frac{36}{2}x - 3x-50 \geq 0 @b @b -5x^2+ 15 x -20 \geq 0 @b @b x^2-3 x +4 \leq 0 .@b Příslušná rovnice nemá řešení (diskriminant je záporný). Nerovnice nemá řešení @iK = \emptyset.@i