Lineární nerovnice
Lineární nerovnice
Teoretické minimum
Nerovnice s jednou neznámou @i\ x\ @i je úloha: najít všechna reálná @i\ x @i, pro která funkce @i\ f\ @i nabývá větších, resp. menších funkčních hodnot než funkce @i\ g\ @i. Zapíšeme ji ve tvaru
@b f(x)>g(x)\quad \textstyle{\rm resp.}\qquad f(x)<g(x). @b
Funkce @i\ f(x)\ @i je levá strana nerovnice, funkce @i\ g(x)\ @i je pravá strana nerovnice. U nerovnic se můžeme setkat se znakem neostré nerovnosti větší rovno "@i\geq @i" nebo menší rovno "@i\leq @i". Číslo @i\ x@i, které vyhovuje dané nerovnici, se nazývákořen (řešení) nerovnice. Řešením nerovnice je často interval. Proto bývá provedení zkoušky obtížné. Je třeba o to více dbát na podmínky, za kterých má daná nerovnice smysl.
Ekvivalentními úpravami nerovnic jsou
- záměna levé a pravé strany nerovnice současně se změnou znaku nerovnosti
- přičtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice
- násobení obou stran rovnice stejným nenulovým výrazem, přičemž pokud je výraz záporný současně dojde ke změně znaku nerovnosti
- obecně aplikace jakékoli prosté funkce na obě strany nerovnice, přičemž pokud je funkce klesající současně dojde ke změně znaku nerovnosti
- umocnění obou stran nerovnice, pokud jsou obě strany nerovnice nezáporné
Lineární nerovnicí s neznámou @i\ x@i rozumíme nerovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar @b ax+b<0,\qquad a,b\in\mathbb{R}.@b Její řešení je následující:
- je-li @i\ a> 0@i, potom @i x<-\,\dfrac ba@i, tj. @i K=\Bigl(-\infty,-\,\dfrac ba\Bigr)@i,
- je-li @i\ a< 0@i, potom @i x>-\,\dfrac ba@i, tj. @i K=\Bigl(-\,\dfrac ba,\infty\Bigr)@i,
- je-li @i\ a=0@i a @i\ b<0@i, potom @i K=\mathbb{R}@i,
- je-li @i\ a=0@i a @i\ b\geq 0@i, potom @i K=\emptyset@i.
Související
Lineární rovnice, lineární funkce, definiční obor funkce.
Řešené příklady
- Řešte lineární nerovnici @i\ 5-2(x+1)\leq-5(x-1)@i s reálnou neznámou @ix.@i
- Řešte lineární nerovnici @i\ \dfrac{x+1}2+\dfrac x3\geq \dfrac{2x+1}2-1@i s reálnou neznámou @ix.@i
Zbavíme se závorek na levé i pravé straně nerovnice
@b \begin{array}{r c l} 5-2x-2 &\leq& -5x+5, \\[2mm] 3-2x&\leq& -5x+5.\end{array}@b
Převedeme členy s @ix@i na jednu stranu a ostatní tzv. absolutní členy na druhou. (Přičteme @i5x@i a @i-3@i k oběma stranám nerovnice.)
@b \begin{array}{r c l} 3+5x-2x &\leq& 5,\\[2mm] 3x&\leq& 5-3.\end{array}@b
Vydělíme obě strany nerovnice třemi a dostaneme výsledek
@bx\leq\frac{2}{3}.@b
Řešením nerovnice je interval @i K=\Bigl(-\infty,\dfrac 23\Bigr\rangle@i.
Obě strany nerovnice vynásobíme číslem @i\ 6@i. Závorky roznásobíme a sečteme. Členy s neznámou @i\ x@i převedeme na levou stranu nerovnice, absolutní členy na pravou. Poslední úprava je násobení @i\ -1@i. Je třeba otočit znaménko nerovnosti.
@b \begin{array}{r c l} \dfrac{x+1}2+\dfrac x3&\geq&\dfrac{2x+1}2-1/ \cdot 6\\[2mm] 3(x+1)+2x&\geq&3(2x+1)-6\\[2mm] 3x+3+2x&\geq&6x+3-6/ -6x-3\\[2mm] 5x-6x&\geq&-6\\[2mm] -x&\geq&-6/\cdot (-1)\\[2mm] x&\leq&6.
\end{array}@b
Řešením nerovnice je interval @i K=(-\infty,6\rangle@i.
Neřešené příklady
- Řešte nerovnici @i x< 1- \dfrac{1+2x}{3} @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i
- Řešte nerovnici @i (3-x)(x+2) \geq x-x^2 + 4{,}5 @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i
