Mnohočleny

Teoretické minimum

Algebraickým výrazem rozumíme každý zápis, který je správně vytvořen podle pravidel pro zápisy čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí.

Je-li @i x @i reálná proměnná (písmeno ve významu libovolného reálného čísla), @i n @i dané přirozené číslo, @i a_0,a_1, \ldots ,a_n @i dané reálné konstanty (čísla) a @i a_n\neq 0 @i, výraz

@b a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x+a_0@b

nazýváme reálným polynomem (mnohočlenem) @i n @i-tého stupně proměnné @i x @i. Čísla  @i a_0,a_1, \ldots ,a_n @i nazýváme koeficienty polynomu, jednotlivé sčítance @i a_{i}x^{i},i=1\ldots n\ @i členy polynomu a @i a_0 @i absolutní člen.

1. Rovnost polynomů

Rozhodněte, pro jaká reálná čísla @i a, b @i se polynomy @i\  x+3 @i, @i\  (a+b)x-2a-b\ @i rovnají. Dva polynomy se rovnají právě tehdy, když se rovnají koeficienty u stejných mocnin @i x @i. Tedy rovnost

@b (a+b)x-2a-b= x+3 @b

nastane právě tehdy, když

@b\begin{array}{r c l}
      a+b&=& 1\\
   -2a-b &=& 3
 \end{array}@b

Soustavu vyřešíme tak, že rovnice sečteme: @i -a=4@i. Odtud @i a=-4 @i. Za neznámou @i a @i v první rovnici dosadí @i -4+b=1 @i, tedy @i b=5@i.

2. Sčítání, odčítání

Je intuitivní.

3. Násobení polynomů

Vynásobte mnohočleny @i\, x^3-2x,\ 3-x^2@i. Všechny členy prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a vzniklé součiny sečteme. @b(x^3-2x)\cdot(3-x^2)=x^3(3-x^2)-2x(3-x^2)=3x^3-x^5-6x+2x^3=-x^5+5x^3-6x@b

Výsledný mnohočlen jsme uspořádali sestupně podle mocniny proměnné.

4. Dělení polynomů 

Dělení @b \dfrac {x^4+x^3+2x^2+8x}{x^2+2x} = (x^4+x^3+2x^2+8x):(x^2+2x),\qquad x\neq 0\,\wedge\, x\neq -2 @b můžeme provést, neboť čitatel (dělenec) @i x^4+x^3+2x^2+8x @i  je stupně @i n=4\geq1 @i a jmenovatel (dělitel) @i x^2+2x @i  je polynom stupně @i m=2\leq 4 @i.  Postup dělení můžeme rozepsat do několika bodů:

• Oba polynomy jsou uspořádané sestupně podle mocniny proměnné. Tak to musí být.
• Člen dělence s nejvyšším stupněm @i x^4 @i dělíme členem dělitele s nejvyšším stupněm @i x^2 @i, výsledek dělení je první člen hledaného podílu  @i \dfrac {x^4}{x^2}=x^2@i.
• Prvním členem podílu vynásobíme dělitele @i x^2\cdot(x^2+2x)=x^4+2x^3@i a výsledek zapíšeme pod dělenec (stejné mocniny pod sebe) a odečteme. Rozdíl @i -x^3+2x^2+8x @i je opět polynom.
• Celý postup opakujeme pro tento  nový polynom  @i -x^3+2x^2+8x @i. Jestliže rozdíl má stupeň menší než dělitel, dělení ukončíme a rozdíl prohlásíme za zbytek po dělení. V našem případe je zbytek nula.

Celý postup dělení vypadá takto:

 Nakonec je rozdíl @i 2 @i. Dělení ukončíme. Je stupně menšího než dělitel @i\ x+1\ @i. Zbytek přičteme k podílu ve tvaru @i\ \dfrac 2{x+1}@i. Udělejme zkoušku. Obě strany rovnosti vynásobme dělitelem @i\ x+1\ @i. Vpravo máme polynom @i\ 2x^2\ @i a vlevo

@b\left( 2x-2+\dfrac 2{x+1} \right) (x+1)=(2x-2)(x+1)+2=2x^2+2x-2x-2+2=2x^2.@b

Tedy levá strana se rovná pravé.

5. Umocňování a rozklad polynomů na součin

Nazpaměť je třeba znát vzorce

@b \begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\  (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2 &=  (a-b)(a+b)\end{aligned}@b

Užitečná poznámka: Měli bychom vědět, že také existují následující  vzorce 

@b \begin{aligned}(a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3 &= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\ a^3+b^3 &=  (a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{aligned}@b

Pravdivost každého vzorce snadno sami dokážete. Např. @i\, (a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2@i.

Rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů

Kvadratická rovnice @i \ 2x^2+3x-2=0\ @i má dva kořeny @i\ x_1=-2\ @i a  @i\ x_2=\dfrac 12 @i. O tom se můžeme přesvědčit dosazením do rovnice: @i \ 2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)-2=8-6-2=0\ @i a @i \ 2\cdot \left(\frac 12\right)^2+3\cdot\frac 12-2=\frac 12+\frac 32-2=0 @i. Polynom @i \ 2x^2+3x-2\ @i můžeme rozložit na součin

@b  \fbox{2}x^2+3x-2=\fbox{2}\cdot(x+2)\cdot\left(x-\dfrac 12\right).\ @b

Popišme si rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů obecně. Pokud má kvadratická rovnice @i\ ax^2+bx+c=0\  @i kořeny @i \ x_1, x_2\ @i (platí @i \ a\neq 0\  @i a @i\ b^2-4ac\geq 0\  @i ), potom kvadratický trojčlen @i\ ax^2+bx+c\  @i rozložíme na součin takto:

@b \fbox{a}x^2+bx+c=\fbox{a}\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2).@b

Obě strany rovnice  @i\ ax^2+bx+c=0\  @i vydělíme nenulovou konstantou @i\ a\ @i a přejmenujeme koeficienty  @i\ \dfrac ba=p\ @i a  @i\ \dfrac ca=q @i.  Máme rovnici   @i\ x^2+px+q=0\ @i v normovaném tvaru, která má stejné kořeny @i \ x_1, x_2\ @i . Polynom  @i\ x^2+px+q\ @i rozložíme na součin

@b x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2). @b

Nyní pravou stranu rovnosti roznásobíme @i\ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\ @i a porovnáme s polynomem @i\ x^2+px+q\ @i na levé straně rovnosti, tedy

@b\begin{array}{r c l}
      x_1+x_2&=& -p\\
       x_1x_2 &=& q
 \end{array}.@b

Tyto vztahy nazýváme Vietovy vzorce. Je to možnost, jak kořeny kvadratické rovnice v normovaném tvaru uhodnout.

Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec (na úplnou druhou mocninu)

Nyní budeme využívat vzorec @i\ a^2 \pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\ @i. Doplníme polynom @i\ x^2+3x-1\ @i na čtverec tak, že jeho první dva členy převedeme na tvar odpovídající prvním dvěma členům levé strany vzorce. Tak zjistíme, kolik je hodnota konstanty @i\ b\ @i (@i\ a=x\ @i). Pak připíšeme @i\ b^2 @i. Nezapomínejme, že hodnotu výrazu nesmíme změnit.

@bx^2+3x-1=x^2+\fbox{2}\cdot x\cdot \dfrac 3{\fbox{2}}+\fbox{$\left(\dfrac 32\right)^2-\left(\dfrac 32\right)^2$}-1=\left(x+\dfrac 32\right)^2-\dfrac 94-1=\left(x+\dfrac 32\right)^2-\dfrac {13}4.@b

Obecně platí

@b x^2+px+q=\left(x+\dfrac p2\right)^2-\dfrac{p^2}4+q.@b

Pozor, častá chyba:  @i\ x^2+9\ @i se nerovná @i\ (x+3)\cdot (x+3)\ @i.  Polynom @i\ x^2+9\ @i nemá v oboru reálných čísel kořeny.  @b\ (x+3)\cdot (x+3)=(x+3)^2=x^2+6x+9. @b

Pozor, častá chyba:  @i\ \dfrac{2}{1+2x}\ @i se nerovná @i\ \dfrac {1}{1+x}.@i  Ve jmenovateli musíme nejprve dvojku vytknout a pak můžeme krátit. @b \dfrac{2}{1+2x} =\dfrac{2}{2(\frac 12+x)} =\dfrac 1{\frac 12+x}.@b